手机台灯损坏时，可以按照以下步骤进行排查和修复：

检查电源和开关

首先确认台灯是否真的没有电源，可以尝试更换电池或检查电源插座是否正常供电。

如果电源正常，检查开关是否损坏。开关损坏的情况包括无法开机或关机、开关线松动等。如果是开关线松动，可以使用螺丝刀拧紧螺丝；如果是开关本身损坏，需要购买相同型号的开关进行更换。

检查电线和连接

拆开台灯，检查电线是否有断裂或脱皮现象。如果电线损坏，需要剪掉损坏部分，并重新连接，确保连接牢固。

如果电线连接正常，但台灯仍然不亮，可能是主板或其他内部电路问题。

检查LED和驱动

LED损坏是常见的问题，可以尝试更换LED灯泡。购买与原装LED灯泡型号相匹配的产品进行更换。

如果LED灯泡更换后仍然不亮，可能是驱动电路损坏。驱动电路损坏需要专业维修人员进行检查和修复，或者购买新的驱动板进行更换。

检查其他部件

如果以上步骤都没有解决问题，可能是台灯的其他部件损坏，如灯座、灯罩等。这些部件损坏后，可以购买相应的配件进行更换。

寻求专业帮助

如果自己无法确定故障原因或无法修复，建议联系台灯的制造商或专业维修人员进行检查和维修。

在进行检查和维修时，请确保在安全的情况下进行，避免触电等危险情况的发生。如果台灯还在保修期内，建议联系官方售后进行维修，以免影响保修政策。