当您的手机丢失且被关机时，您应该立即采取以下措施来保护您的个人信息和防止进一步的损失：

远程锁定手机

如果您之前设置了远程锁定功能（如苹果的“查找我的iPhone”或安卓的“查找我的设备”），请通过其他设备或电脑登录您的账户，远程锁定手机并擦除其中的数据。

挂失SIM卡

尽快联系您的手机运营商，告知他们手机丢失并关机的情况，请求他们挂失SIM卡，防止他人利用您的手机号码进行恶意操作。

修改账户密码

在其他设备上登录您的社交媒体、邮箱和银行账户等，更改密码，防止他人通过您的手机访问您的私人信息和财务信息。

报警

尽快向公安机关报案，提供手机的IMEI号码、手机号码以及其他能够证明手机唯一性的相关证据。警方可以通过这些信息协助调查，并保护您的个人信息安全。

联系服务提供商

告知您的手机服务提供商（如苹果、华为、小米等）手机丢失并关机的情况，他们可能会提供进一步的追踪或锁定手机的服务。

检查监控录像

如果您记得手机丢失的具体位置，可以检查该地点是否有监控设备，并尽快联系相关部门获取录像记录，以确定手机的下落。

注销支付方式

如果您在手机上存储了敏感数据（如信用卡信息），请尽快注销相应的支付方式，并与金融机构联系确认账户安全。

通过以上措施，您可以最大限度地减少手机丢失带来的损失，并保护您的个人信息不被泄露。